Wprowadzenie do procentu składanego

W tym odcinku opowiem o procencie… o procencie składanym, a potem omówię szybki, przybliżony sposób obliczania, jak prędko następuje kapitalizacja. I zobaczymy, jak dobre jest to przybliżenie. Powiedzmy, że prowadzę jakiś bank i proponuję odsetki 10%, przy rocznej kapitalizacji. Kapitalizacja roczna. W prawdziwych bankach tak nie jest. Odsetki kapitalizuje się ciągle, ale tu, dla uproszczenia, zróbmy kapitalizację co roku. Będzie łatwiej liczyć, a o stałej kapitalizacji jeszcze opowiem. A wszystko to znaczy… Powiedzmy, że dziś… np. dziś wpłacacie 100$ na konto. Jeśli je tam zostawicie, to po roku będziecie mieć swoje 100$ plus 10% odsetek od tego depozytu. 10% ze stu to 10$. Po roku będziecie więc mieli 110$. 110$. Można powiedzieć, że dodałem 10% do stu. A po dwóch latach, czyli rok po pierwszym roku, po dwóch latach uzyskacie 10% nie tylko od 100$. Otrzymacie 10% od 110$. A 10% ze 110 to… Otrzymacie jeszcze 11$, bo 10% od 110 to 11, uzyskacie więc 110… To był wasz depozyt po wejściu w drugi rok, i dostajecie jeszcze 10% od tego, nie od pierwotnego depozytu. Stąd - odsetki składane. Dostajecie odsetki od odsetek z poprzednich lat. Zatem – 110$ plus 11$. Co roku nasze odsetki, jeśli nie wypłacamy pieniędzy, rosną. Mamy już 121$. I mógłbym to robić dalej. Ogólny sposób wyliczenia, ile będziecie mieli po upływie n lat, polega na mnożeniu. Załatwię sprawę algebraicznie. Powiedzmy, że to mój pierwszy depozyt, czy kapitał, jak chcecie… Po upływie x lat… Po roku mnożymy… żeby uzyskać tę kwotę, mnożymy przez 1,1. Zrobię tak. Nie za bardzo abstrakcyjnie. Obliczę. Żeby dojść do tej wartości, pomnożyliśmy tę liczbę, 100, przez 1 plus 10%, czyli przez 1,1. A ta liczba, to będzie… 110 razy - znowu - 1,1. To jest 100, razy 1,1, czyli ta wartość. Teraz znów pomnożymy to przez 1,1. Pamiętacie, skąd to 1,1 się wzięło? 1,1 jest tym samym, co 100% plus jeszcze 10%. Tyle właśnie uzyskujemy. Mamy 100% pierwotnego depozytu plus jeszcze 10%, czyli mnożymy przez 1,1. A tu robimy to dwukrotnie. Dwa razy mnożymy przez 1,1. Ile będziemy mieć po trzech latach? Po trzech latach będziemy mieli 100 razy… 1,1 do potęgi trzeciej. A po upływie n lat (bardziej abstrakcyjnie)… Będziemy mieli 100 razy 1,1 do potęgi n-tej. Jak się domyślacie, niełatwo to obliczyć. W tej sytuacji mieliśmy 10%. Gdyby chodziło o, powiedzmy, 7%… Tutaj sytuacja jest inna. Procent składany - 7% rocznie. Po roku… będziemy więc mieli 100 razy… zamiast 1,1 będzie 100% plus 7%, czyli 1,07. Przejdźmy do trzeciego roku. Po trzecim roku… mogłem zrobić drugi… Byłoby to 100 razy 1,07 do potęgi… trzeciej, czyli 1,07 mnożone przez siebie 3 razy. A po n latach byłoby to 1,07 do potęgi n. Pewnie już czujecie, że chociaż zasada jest prosta, to obliczenie odsetek składanych może być całkiem trudne. A gdybym spytał, ile trzeba czasu… Ile… czasu… zajmie… podwojenie się pieniędzy? Macie zastosować ten wzór. Powiecie: „Żeby wkład się podwoił… Zaczynam od 100$. Pomnożę to przez… przyjmijmy stopę 10%. Mnożę przez 1,1… do potęgi x. Jest to równe… Wkład ma się podwoić, więc to musi być równe 200$. Teraz muszę wyliczyć x. Potrzebny będzie logarytm! Podzielę obie strony przez 100. Zostanie: 1,1 do potęgi x równa się 2. Podzieliłem obie strony przez 100. Teraz wyznaczymy z obu stron logarytm o podstawie 1,1 i uzyskamy x. Celowo pokazuję, że to dość skomplikowane. Trudne, ale są filmiki o równaniach logarytmicznych; x to logarytm o podstawie 1,1 z dwóch. Nie obliczymy tego w pamięci! Zasada jest prosta, lecz ile czasu zajmie podwojenie pieniędzy? Obliczenie dokładnego wyniku nie jest łatwe. Jeśli macie zwykły kalkulator, możecie dodawać lata, aż uzyskacie bliską liczbę, ale prostego sposobu nie ma. To przy 10%. Przy 9,3% byłoby jeszcze trudniej. W następnym odcinku przedstawię tzw. regułę 72, sposób obliczania w przybliżeniu, jak długo (to nasze zadanie)… jak długo potrwa, aż podwoją się… to bardzo ważne… Kiedy podwoją się wasze pieniądze? I sprawdzimy, jak dokładne jest to przybliżenie.