FAQ: ułamki zwykłe, dziesiętne i procenty

Rozwinięcie dziesiętne skończone urywa się w pewnym momencie i taki ułamek można zapisać jako ułamek zwykły, którego mianownikiem jest potęga liczby $10$‍. Na przykład, ułamek dziesiętny $0,33$‍, którego rozwinięcie dziesiętne urywa się na drugim miejscu po przecinku, możemy przedstawić jako ułamek zwykły ${\displaystyle \frac{33}{100}}$‍. Rozwinięcie dziesiętne okresowe jest nieskończenie długie. Jako przykład może służyć ułamek ${\displaystyle \frac{1}{3}}$‍, którego rozwinięcie dziesiętne równa się $\mathrm{0,333}3\dots$‍. W tym przypadku cyfra $3$‍ powtarza się nieskończoną liczbę razy, czyli jest „w okresie”. Aby uprościć notację, cyfry w okresie zapisujemy w nawiasie, w tym wypadku jako ${\displaystyle \frac{1}{3}}=0,(3)$‍.

Załóżmy, że sprowadziliśmy ułamek do postaci uproszczonej, to znaczy w liczniku i mianowniku nie ma już wspólnych czynników, które można skrócić. Jeśli w mianowniku pozostały czynniki pierwsze inne niż $2$‍ i $5$‍, to ten ułamek ma rozwinięcie dziesiętne okresowe. Powtarzająca się część może mieć więcej niż jedną cyfrę. Na przykład, rozwinięcie dziesiętne ułamka ${\displaystyle \frac{8}{11}}$‍ ma postać $\mathrm{0,727}272\dots$‍, czyli $0,(72)$‍.

Ułamki dziesiętne porównujemy w następujący sposób: zaczynamy od najwyższego miejsca dziesiętnego i porównujemy kolejne cyfry, przesuwając się z lewa na prawo tak długo, aż nie znajdziemy rzędu, w którym cyfry się różnią.

Porównajmy na przykład $0,67$‍ i $0,(6)$‍. W obu ułamkach na pozycji jedności znajduje się $0$‍, a na pozycji dziesiątych $6$‍. Na pozycji setnych w ułamku $0,67$‍ znajduje się $7$‍, a w ułamku $0,(6)$‍ stoi $6$‍. A zatem $0,67>0,(6)$‍.

Sprawdź, czy rozumiesz: Zamiana ułamków zwykłych na ułamki dziesiętne.

Aby obliczyć procentowy wzrost lub spadek czegoś, musimy znać dwie liczby: wartość początkową i wartość po zmianie. Następnie dzielimy różnicę pomiędzy wartością po zmianie i wartością początkową przez wartość początkową. Wynik zapisujemy w postaci ułamka dziesiętnego, który następnie zamieniamy na procenty.

Na przykład, jeśli wartość początkowa równa się $20$‍ i wielkość ta następnie wzrosła do $30$‍, to otrzymamy:

Zmiana jest dodatnia i wyrażona w procentach oznacza wzrost o $50\mathrm{\%}$‍.

Z drugiej strony, jeśli wartość początkowa równa się $20$‍ i wielkość ta następnie zmalała do $15$‍, to:

Zmiana jest ujemna i wyrażona w procentach oznacza spadek o $25\mathrm{\%}$‍.

Sprawdź, czy rozumiesz: Zadania o procentach.

Zapisując wyrażenia z procentami w różnych postaciach, wybieramy formę, która sprawia, że najłatwiej jest zrozumieć kontekst lub wykonać obliczenia.

Powiedzmy, że chcemy obliczyć cenę jakiegoś towaru po obniżce, równej $8\mathrm{\%}$‍. Jeśli ten towar przed obniżką kosztował $m$‍ złotych, to jego cenę po obniżce możemy zapisać jako:

Zapisując tak cenę po obniżce podkreślamy, że od ceny zasadniczej odejmujemy procentową wartość rabatu. Natomiast jeśli chcielibyśmy po prostu szybko obliczyć cenę z rabatem, to obliczenia możemy zapisać tak:

Mamy tu tylko jedno działanie do wykonania, ale stojąca za nim logika jest mniej oczywista.

W innych okolicznościach możemy skorzystać z innej formy, aby ułatwić sobie obliczenia. Na przykład, załóżmy że w pewnej miejscowości w ubiegłym roku spadło $60\text{cm}$‍ deszczu,a w tym roku opady wyniosły $120\mathrm{\%}$‍ tej wartości. Możemy zapisać jako $60\cdot 1,20\text{cm}$‍, ale komuś może być łatwiej wykonać obliczenia w formie $60\cdot {\displaystyle \frac{6}{5}}\text{cm}$‍. Ponieważ oba sposoby są prawidłowe, możesz wybrać ten, który jest według Ciebie łatwiejszy do obliczeń!

Sprawdź, czy rozumiesz: Równoważne przedstawienia liczba w postaci procentów lub ułamków dziesiętnych.