Główna zawartość

Kurs: Matematyka II > Rozdział 5

Lekcja 5: Mnożenie liczb zespolonych

Mnożenie liczb zespolonych

Dowiedz się jak mnożyć liczby zespolone. Na przykład, jak pomnożyć (1+2i)⋅(3+i).

Liczbą zespoloną nazywamy każdą liczbę, którą można zapisać jako sumę

a + b i

, gdzie

i

jest jednostką urojoną a

a

b

są liczbami rzeczywistymi.

Gdy mnożymy liczby zespolone wygodnie jest pamiętać, że arytmetyczne reguły mnożenia, jakie stosujemy przy mnożeniu liczb rzeczywistych, działają podobnie i w tym przypadku.

Czasem myślenie o

i

jak o zmiennej, takiej jak

x

, jest przydatne. Wtedy możemy mnożyć dokładnie tak, jak byśmy się tego spodziewali. Przepracujmy to na kilku przykładach.

Mnożenie liczby rzeczywistej przez liczbę zespoloną

Przykład

Pomnóż

- 4 (13 + 5 i)

. Zapisz wynik w postaci

a + b i

Rozwiązanie

Jeżeli intuicja podpowiada Ci wymnożenie elementów nawiasu przez

- 4

, to masz dobrą intuicję! Zróbmy to!

\begin{aligned} - 4 (13 + 5 i) & = - 4 (13) + (- 4) (5 i) \\ = - 52 - 20 i \end{aligned}

I już! Użyliśmy własności rozdzielności, aby pomnożyć liczbę zespoloną przez liczbę rzeczywistą. Spróbujmy teraz czegoś bardziej skomplikowanego.

Mnożenie liczby urojonej przez liczbę zespoloną

Przykład

Pomnóż

2 i (3 - 8 i)

. Zapisz wynik w postaci

a + b i

Rozwiązanie

Podobnie, zacznijmy wymnożeniem przez

2 i

każdego ze składników nawiasu.

\begin{aligned} 2 i (3 - 8 i) & = 2 i (3) - 2 i (8 i) \\ = 6 i - 16 i^{2} \end{aligned}

W tym momencie odpowiedź nie jest w postaci

a + b i

, ponieważ zawiera

i^{2}

Wiemy jednak, że

i^{2} = - 1

. Podstawmy to i zobaczmy, dokąd nas to zawiedzie.

\begin{aligned} = 6 i - 16 i^{2} \\ = 6 i - 16 (- 1) \\ = 6 i + 16 \end{aligned}

Używając własności przemienności dodawania możemy zapisać odpowiedź jako

16 + 6 i

, mamy więc, że

2 i (3 - 8 i) = 16 + 6 i

Sprawdź, czy rozumiesz

Zadanie 1

Pomnóż $3 (- 2 + 10 i)$ ‍.
Zapisz odpowiedź w postaci $a + b i$ ‍.

Zadanie 2

Pomnóż $- 6 i (5 + 7 i)$ ‍.
Zapisz odpowiedź w postaci $a + b i$ ‍.

Doskonale! Możemy teraz przejść jeszcze dalej! W następującej części przećwiczymy typowy przypadek mnożenia liczb zespolonych.

Mnożenie dwóch liczb zespolonych

Przykład

Pomnóż

(1 + 4 i) (5 + i)

. Zapisz wynik w postaci

a + b i

Rozwiązanie

W tym przykładzie niektórzy uważają za bardzo pomocne przyjęcie

i

za zmienną.

Procedura mnożenia tych dwóch liczb zespolonych jest bardzo podobna to mnożenia dwóch dwumianów! Pomnóż każdy z elementów pierwszego nawiasu przez każdy z elementów drugiego nawiasu.

\begin{aligned} (1 + 4 i) (5 + i) & = (1) (5) + (1) (i) + (4 i) (5) + (4 i) (i) \\ = 5 + i + 20 i + 4 i^{2} \\ = 5 + 21 i + 4 i^{2} \end{aligned}

Skoro

i^{2} = - 1

, to możemy zamienić

i^{2}

- 1

i otrzymać szukaną postać

a + b i

\begin{aligned} = 5 + 21 i + 4 i^{2} \\ = 5 + 21 i + 4 (- 1) \\ = 5 + 21 i - 4 \\ = 1 + 21 i \end{aligned}

Sprawdź, czy rozumiesz

Zadanie 3

Pomnóż $(1 + 2 i) (3 + i)$ ‍.
Zapisz odpowiedź w postaci $a + b i$ ‍.

Zadanie 4

Pomnóż $(4 + i) (7 - 3 i)$ ‍.
Zapisz odpowiedź w postaci $a + b i$ ‍.

Zadanie 5

Pomnóż $(2 - i) (2 + i)$ ‍.
Zapisz odpowiedź w postaci $a + b i$ ‍.

Zadanie 6

Pomnóż $(1 + i) (1 + i)$ ‍.
Zapisz odpowiedź w postaci $a + b i$ ‍.

Wyzwania

Zadanie 1

Niech $a$ ‍ i $b$ ‍ będą liczbami rzeczywistymi. Ile wynosi $(a - b i) (a + b i)$ ‍?

Zadanie 2

Wykonaj działanie i uprość wynik. $(1 + 3 i)^{2} \cdot (2 + i)$ ‍
Zapisz odpowiedź w postaci $a + b i$ ‍.

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się

Sortuj według

Na razie brak głosów w dyskusji

Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.