Główna zawartość

Kurs: Analiza matematyczna funkcji wielu zmiennych > Rozdział 4

Lekcja 6: Całki podwójne (artykuły)

Całki podwójne

Google Classroom

Całki podwójne są metodą całkowania po dwuwymiarowym obszarze. Służą między innymi do wyznaczania objętości brył.

Kontekst

Do czego zmierzamy

Filmy wideo na Khan Academy

Zobacz transkrypcję filmu

Dla nieujemnej funkcji dwóch zmiennych $f (x, y)$ ‍, można wyznaczyć objętość bryły zawartej pomiędzy wykresem tej funkcji i prostokątnym obszarem położonym w płaszczyźnie $O X Y$ ‍, obliczając całkę z całki:
$\begin{array}{r} \int_{y_{1}}^{y_{2}} \overset{to jest funkcja zmiennej y}{\overset{⏞}{(\int_{x_{1}}^{x_{2}} f (x, y) d x)}} d y \end{array}$ ‍

Nazywamy to całką podwójną.

Możemy obliczyć tę samą objętość, zmieniając kolejność całkowania:
$\begin{array}{r} \int_{x_{1}}^{x_{2}} \overset{to jest funkcja zmiennej x}{\overset{⏞}{(\int_{y_{1}}^{y_{2}} f (x, y) d y)}} d x \end{array}$ ‍

Obliczenia będą przebiegać odmiennie, ale otrzymamy ten sam wynik.

Objętość bryły zawartej pod wykresem funkcji

Rozważmy funkcję

$f (x, y) = x + \sin (y) + 1$ ‍

Wykres tej funkcji wygląda następująco:

Filmy wideo na Khan Academy

Zobacz transkrypcję filmu

Rozważmy teraz prostokąt w płaszczyźnie

O X Y

zdefiniowany nierównościami:

$0 < x < 2$ ‍

$- π < y < π$ ‍

Ile wynosi objętość bryły zawartej pomiędzy tym prostokątem i wykresem funkcji

f (x, y)

Filmy wideo na Khan Academy

Zobacz transkrypcję filmu

Krótkie przypomnienie wiadomości dotyczących pola obszaru pod krzywą

Z rachunku całkowego funkcji jednej zmiennej wiemy, że za pomocą całki można wyznaczyć pole obszaru pod krzywą. Na przykład pole obszaru pod wykresem funkcji

y = \frac{1}{4} x^{2} + 1

, zawartego pomiędzy

x = - 3

x = 3

, można zapisać następująco:

$\begin{array}{r} \int_{- 3}^{3} (\frac{1}{4} x^{2} + 1) d x \end{array}$ ‍

Żeby zrozumieć sens tego zapisu, można wyobrazić sobie dodawanie pól nieskończenie wielu, nieskończenie wąskich prostokątów, rozciągających się pod krzywą w określonym obszarze:

Filmy wideo na Khan Academy

Zobacz transkrypcję filmu

Dla każdego z prostokątów, wartość funkcji

g (x) = \frac{1}{4} x^{2} + 1

może być interpretowana jako jego wysokość, a

d x

jako nieskończenie mała szerokość.

\int

będzie wówczas potężną maszyną sumującą, która jest w stanie obsłużyć nieskończenie wiele, nieskończenie małych składników. Możemy to zapisać w ogólniejszej postaci:

$\begin{array}{r} \int_{x_{1}}^{x_{2}} g (x) d x \end{array}$ ‍

Krojenie bryły na plasterki

Możemy postąpić podobnie, żeby znaleźć rozwiązanie naszego zagadnienia dotyczącego objętości. Oto nasza strategia:

Podzielimy bryłę na plasterki o dwuwymiarowej powierzchni
Obliczymy pola powierzchni tych plasterków
Dodamy do siebie objętości plasterków, żeby otrzymać objętość całej bryły.

Wyobraźmy sobie dwuwymiarowe plasterki bryły pod wykresem funkcji

f (x, y)

. W szczególności weźmy pod uwagę wszystkie plasterki charakteryzujące się stałą wartością

y

Filmy wideo na Khan Academy

Zobacz transkrypcję filmu

Rozważmy pewien pojedynczy plasterek, na przykład dla

y = \frac{π}{2}

. Pole powierzchni tego plasterka można wyznaczyć za pomocą całki:

$\begin{aligned} \int_{0}^{2} f (x, \frac{π}{2}) d x & = \int_{0}^{2} (x + \sin (\frac{π}{2}) + 1) d x \end{aligned}$ ‍

Bardziej ogólnie, pole powierzchni plasterka odpowiadającego ustalonej wartości

y

, można zapisać jako:

$\begin{array}{r} \int_{0}^{2} f (x, y) d x \end{array}$ ‍

Zauważ, że całkujemy względem zmiennej

x

, na co wskazuje symbol

d x

, więc "

y

" w tej całce reprezentuje stałą.

Kiedy obliczymy tę całkę, otrzymamy jakieś wyrażenie zawierające zmienną

y

Zobacz jak to działa: Oblicz całkę, żeby wyznaczyć pola powierzchni plasterków odpowiadających ustalonej wartości $y$ ‍ :

$\begin{array}{r} \int_{0}^{2} (x + \sin (y) + 1) d x = \end{array}$ ‍

Kiedy podstawisz konkretną wartość

y

do tego wyrażenia, na przykład

y = \frac{π}{2}

, otrzymasz pole powierzchni przekroju bryły odpowiadającego wybranej wartości

y

Now if we multiply the area of each one of these slices by

d y

, a tiny change in the

y

-direction, we will get a tiny slice of volume. For example,

4 + 2 \sin (y)

might represent the area of a slice, but

(4 + 2 \sin (y)) d y

represents the infinitesimal volume of that slice.

Using yet another integral, this time with respect to

y

, we can effectively sum up all those tiny volume slices to get the total volume under the surface:

\begin{array}{r} \overset{objętość bryły pod wykresem f (x, y)}{\overset{⏞}{\int_{- π}^{π} (\underset{pole powierzchni plasterka}{\underset{⏟}{\int_{0}^{2} f (x, y) d x}}) d y}} \end{array}

Zobacz jak to działa: Co otrzymasz, jeśli podstawisz wyznaczone wcześniej wyrażenie $\int_{0}^{2} f (x, y) d x$ ‍ i obliczysz drugą całkę?

$\begin{array}{r} \int_{- π}^{π} (\int_{0}^{2} (x + \sin (y) + 1) d x) d y = \end{array}$ ‍

Zacznij od podstawienia wyznaczonego wcześniej wyrażenia w miejsce wewnętrznej całki.
$\begin{aligned} \int_{- π}^{π} (\int_{0}^{2} (x + \sin (y) + 1) d x) d y & = \int_{- π}^{π} (4 + 2 \sin (y)) d y \end{aligned}$ ‍
Następnie oblicz całkę względem zmiennej $y$ ‍.
$\begin{aligned} \int_{- π}^{π} (4 + 2 \sin (y)) d y \\ = [4 y + 2 (- \cos (y))]_{- π}^{π} \\ = (4 π - 2 \cos (π)) - (4 (- π) - 2 \cos (- π)) \\ = (4 π - 2 (- 1)) - (- 4 π - 2 (- 1)) \\ = 8 π \end{aligned}$ ‍
Zatem objętość, którą chcieliśmy wyznaczyć, jest równa $8 π$ ‍.

Dwie możliwości wyboru kierunku

Objętość, którą chcemy obliczyć, może być również wyznaczona w inny sposób. Zamiast plasterków, które odpowiadają stałym wartościom zmiennej

y

, możemy wziąć plasterki, które odpowiadają stałym wartościom zmiennej

x

i dodać do siebie ich objętości.

Filmy wideo na Khan Academy

Zobacz transkrypcję filmu

Pytanie kontrolne: Która z poniższych całek przedstawia pole powierzchni plasterka odpowiadającego ustalonej wartości zmiennej

x

Wyobraź sobie, że mnożysz każde z tych pól przez

d x

- wielkość, która odpowiada niewielkiemu krokowi w kierunku wyznaczonym przez oś

X

, czyli w kierunku prostopadłym do plasterka. W ten sposób uzyskujemy coś w rodzaju nieskończenie małej objętości. Dodając te nieskończenie małe objętości dla

x

zmieniającego się w zakresie od

0

2

, otrzymamy objętość bryły pod wykresem.

Pytanie kontrolne: Która z poniższych całek podwójnych wyraża objętość bryły pod wykresem naszej funkcji

$f (x, y) = x + \sin (y) + 1$ ‍

na obszarze określonym nierównościami

$0 \leq x \leq 2$ ‍ i $- π \leq y \leq π$ ‍?

Zobacz, jak to działa!: Oblicz całkę podwójną, żeby wyznaczyć objętość bryły pod wykresem funkcji. (Wyznaczyłeś już oczywiście tę objętość w poprzedniej sekcji, ale warto zobaczyć, jak to obliczyć innym sposobem).

$\begin{array}{r} \int_{0}^{2} (\int_{- π}^{π} (x + \sin (y) + 1) d y) d x = \end{array}$ ‍

Na szczęście w wyniku tych obliczeń dostajemy tę samą objętość, którą otrzymaliśmy w poprzedniej sekcji. Gdyby tak nie wyszło, to musiało by być coś nie tak w naszym rozumowaniu.

Krótko mówiąc, kolejność całkowania nie ma znaczenia. To może się wydawać oczywiste, ze względu na to, że obie metody służą do wyznaczenia tej samej objętości. Z drugiej strony, oba podejścia wymagają zupełnie różnych obliczeń, więc fakt, że wychodzi ten sam wynik, okazuje się być użytecznym matematycznym trikiem.

Na przykład niektóre dowody w teorii prawdopodobieństwa opierają się na uzasadnieniu, że dwie wielkości są równe, poprzez wykazanie, że te wielkości uzyskuje się za pomocą tej samej całki podwójnej, tylko obliczonej w inny sposób.

Powinienem wspomnieć, że zdarzają się takie egzotyczne całki podwójne, w których zmiana kolejności całkowania powoduję zmianę wyniku obliczeń. Odpowiedni kawałek matematyki, opisujący kiedy możesz zmieniać kolejność całkowania, nosi nazwę "Twierdzenia Fubiniego".

Możesz się nauczyć wszystkich szczegółów Twierdzenia Fubiniego na kursie analizy, ale nie musisz się o to martwić na początku zajmowania się całkami podwójnymi. W przypadku większości funkcji, z którymi przyjdzie ci się mierzyć w praktyce, będziesz na szczęście mógł zamieniać kolejność całkowania do woli!

Inny przykład

Rozważmy funkcję

$f (x, y) = \cos (y) x^{2} + 1$ ‍

Ile wynosi objętość bryły pod wykresem tej funkcji na obszarze określonym nierównościami

$- 1 \leq x \leq 1$ ‍

$- π \leq y \leq π$ ‍?

Oto jak wygląda ta bryła:

Filmy wideo na Khan Academy

Zobacz transkrypcję filmu

Pytanie kontrolne: Wyobraź sobie, że bryła pod wykresem funkcji

f (x, y) = \cos (y) x^{2} + 1

została przecięta płaszczyzną o równaniu

y = 1

. Która z poniższych całek odpowiada polu powierzchni tego przecięcia?

Ćwiczenie: Co otrzymasz obliczając tę całkę przy dowolnej wartości

y

, zamiast tylko dla

y = 1

$\begin{array}{r} \int_{- 1}^{1} (\cos (y) x^{2} + 1) d x = \end{array}$ ‍

Ćwiczenie: Wyrażenie, które właśnie otrzymałeś, odpowiada polu powierzchni przekroju bryły otrzymanego dla ustalonej wartości

y

. Wykorzystaj to wyrażenie do zapisania całki odpowiadającej objętości bryły pod wykresem funkcji i oblicz tę całkę.

Ostateczny wynik:

Właśnie obliczyliśmy, że pole powierzchni przekroju bryły odpowiadającego ustalonej wartości

y

, przy

x

z zakresu od

- 1

1

, jest równe

$\frac{2}{3} \cos (y) + 2$ ‍

Mnożenie uzyskanego wyrażenia przez

d y

, odpowiadającego małemu krokowi w kierunku osi

Y

, można sobie wyobrazić jako dołożenie odrobiny głębokości do tego płaskiego obszaru.

$(\frac{2}{3} \cos (y) + 2) d y$ ‍

Możesz to traktować jako nieskończenie małą objętość.

Nasza bryła jest zdefiniowana w obszarze, gdzie

- π \leq y \leq π

, zatem w tym właśnie zakresie dodajemy do siebie takie nieskończenie małe objętości.

$\begin{aligned} \int_{- π}^{π} (\frac{2}{3} \cos (y) + 2) d y & = {(\frac{2}{3} \sin (y) + 2 y)}_{- π}^{π} \\ = (\frac{2}{3} \sin (π) + 2 π) - (\frac{2}{3} \sin (- π) + 2 (- π)) \\ = (0 + 2 π) - (0 - 2 π) \\ = 4 π \end{aligned}$ ‍

Podsumowanie

Dla nieujemnej funkcji dwóch zmiennych $f (x, y)$ ‍, można wyznaczyć objętość bryły zawartej pomiędzy wykresem tej funkcji i prostokątnym obszarem położonym w płaszczyźnie $O X Y$ ‍, obliczając całkę z całki:
$\begin{array}{r} \int_{y_{1}}^{y_{2}} \overset{to jest funkcja zmiennej y}{\overset{⏞}{(\int_{x_{1}}^{x_{2}} f (x, y) d x)}} d y \end{array}$ ‍

Nazywamy to całką podwójną.

Możemy obliczyć tę samą objętość, zmieniając kolejność całkowania:
$\begin{array}{r} \int_{x_{1}}^{x_{2}} \overset{to jest funkcja zmiennej x}{\overset{⏞}{(\int_{y_{1}}^{y_{2}} f (x, y) d y)}} d x \end{array}$ ‍

Obliczenia będą przebiegać odmiennie, ale otrzymamy ten sam wynik.

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się

Sortuj według

Na razie brak głosów w dyskusji

Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.